PE-015-Cálculo da Perpetuidade com e sem Crescimento

PE-015 – Cálculo da Perpetuidade com e sem Crescimento

1. Objetivo do Estudo

Este Estudo 15 abordará o cálculo e as aplicações da perpetuidade (sem crescimento e com crescimento) na avaliação de projetos de investimento e na valorização de empresas. Mostraremos quando cada uma deve ser aplicada e qual o significado econômico por trás dos conceitos.

Todo o conteúdo deste Estudo é prático, podendo ser utilizado no dia a dia das empresas. A leitura do Estudo 8 é recomendada, porém não indispensável. No Estudo 16, aprofundaremos na avaliação de empresas pelo método do fluxo de caixa descontado.

2. Conceitos e Abreviações Relevantes

Os fundamentos e procedimentos para análise de projetos de investimento e valorização de participações acionárias são os mesmos. O valor de um projeto ou de uma participação acionária é o valor presente de seu fluxo de caixa projetado.

Um dos componentes do fluxo de caixa a ser descontado é o valor residual, que corresponde ao valor do projeto no último ano do período de análise. Os métodos mais comuns para estimá-lo são:

Valor de liquidação dos ativos: estimativa do valor pelo qual os ativos do projeto poderiam ser vendidos ao final do período de análise. Este procedimento é aceitável quando estamos analisando efetivamente um projeto com vida útil finita.
Método da perpetuidade: considera que o fluxo de caixa do projeto se estende infinitamente, assumindo a repetição de ciclos de investimento para garantir a sobrevivência do projeto. Utilizado quando o projeto tem vida útil indeterminada.

Abreviações utilizadas

Abreviação	Significado
VP	Valor Presente
FC	Fluxo de Caixa
i	Taxa de desconto (custo de capital)
G	Taxa de crescimento constante e infinita do fluxo de caixa (growth)
CCP	Custo do Capital Próprio

3. Fórmulas Fundamentais

3.1. Perpetuidade sem Crescimento

Valor presente da perpetuidade = FC / i

Onde:

FC = Fluxo de caixa anual constante
i = Taxa de desconto

Exemplo:

Fluxo de caixa anual = RR$1.000
Taxa de desconto = 10% a.a.
VP = RR$1.000 / 0,10 = RR$10.000

O fluxo de caixa desta perpetuidade é dado pela seguinte expressão: o acionista tem direito ao dividendo de RR$1.000, mais o valor do principal de RR$10.000, que se refere ao período N+1 em diante.

3.2. Perpetuidade com Crescimento

Valor presente da perpetuidade = FC₁ / (i – G)

Onde:

FC₁ = Fluxo de caixa do primeiro ano da perpetuidade
i = Taxa de desconto
G = Taxa de crescimento constante

Exemplo:

FC₁ = RR$100
i = 20% a.a.
G = 5% a.a.
VP = RR$100 / (0,20 – 0,05) = RR$666,67

4. Efeito do Momento de Início da Perpetuidade

O valor presente da perpetuidade diminui quanto mais distante do momento zero os fluxos ocorrem.

Exemplo com perpetuidade de RR$1.000 e taxa de 10%:

Início da Perpetuidade	Cálculo	Valor Presente
Momento 1 em diante	RR$1.000 / 0,10	RR$10.000,00
Momento 2 em diante	RR$(1.000 / 0,10) / 1,10	RR$9.090,91
Momento 3 em diante	RR$(1.000 / 0,10) / 1,10²	RR$8.264,46

5. Significado Econômico

5.1. Perpetuidade sem Crescimento

Os projetos não criam valor para o acionista, pois os lucros retidos são reaplicados à mesma taxa de desconto do fluxo. A política de dividendos é irrelevante. Descontar o fluxo de lucros ou de caixa é a mesma coisa.

Exemplo prático: Na instalação de um hotel, a perpetuidade sem crescimento seria assumida a partir do momento em que preços, gastos operacionais e taxa de ocupação estiverem otimizados. A partir deste momento, novos projetos terão como missão somente preservar o valor do empreendimento.

5.2. Perpetuidade com Crescimento

Os projetos são criadores de valor. Lucros retidos são reaplicados a taxas superiores à taxa de desconto, criando valor para o acionista.

Exemplo:

Ano	Cálculo	Dividendo
1	RR$1.000 / 2	RR$500,00
2	RR$(1.000 + RR$500 × 0,12) / 2	RR$530,00
3	RR$(1.060 + RR$530 × 0,12) / 2	RR$561,80

Taxa de crescimento dos dividendos = 6% RR$(530 / RR$500)
Valor da perpetuidade com crescimento:
VP = RR$500 / (0,10 – 0,06) = RR$12.500

6. Cálculo do G a partir da Política de Retenção

No contexto de perpetuidade com crescimento, a taxa G pode ser calculada através da fórmula:

G = Taxa de retenção do lucro líquido × Taxa de aplicação dos lucros retidos

Exemplo:

Taxa de retenção = 40%
Taxa de aplicação = 15% a.a.
G = 0,40 × 0,15 = 0,06 = 6% a.a.

7. Considerações sobre a Taxa de Crescimento (G)

A taxa G, quando utilizada no cálculo da perpetuidade, não deve ser elevada pelas seguintes razões:

A taxa G deve ser utilizada quando a empresa estima projetos com pouco valor agregado, não fazendo sentido um G elevado.
A longo prazo, a taxa de crescimento da economia brasileira tende a ser moderada (1% a 2% ao ano).
A renda per capita tende à estabilização, a população cresce a taxas pequenas e há intensa concorrência.
Não existe retrospecto de empresa que registre crescimento perpétuo elevado em sua geração de caixa.
Um G elevado eleva o valor do fluxo de caixa a patamares de difícil aceitação.

8. Caso Prático Proposto

Uma empresa está sendo avaliada. As projeções são:

Ano 1: FC = RR$8.000
Ano 2: FC = RR$10.000
Ano 3: FC = RR$12.000
A partir do ano 4, os fluxos crescerão à taxa constante de 3% ao ano (perpetuidade com crescimento)
Taxa de desconto (CCP) = 12% a.a.

Questão 1

Calcule o valor presente do fluxo de caixa da empresa.

Questão 2

Calcule o valor presente considerando que a perpetuidade é sem crescimento a partir do ano 4, com fluxo constante de RR$12.000.

Questão 3

Se a empresa distribuísse 60% do lucro e reinvestisse 40% a uma taxa de retorno de 15% a.a., qual seria a taxa de crescimento (G) dos dividendos?

9. Solução do Caso Prático

Solução da Questão 1

VP = RR$8.000 / 1,12 + RR$10.000 / 1,12² + RR$12.000 / 1,12³ + [RR$12.000 × 1,03 / (0,12 – 0,03)] / 1,12³

VP = RR$7.142,86 + RR$7.971,94 + RR$8.541,36 + [RR$12.360 / 0,09] / 1,404928

VP = RR$7.142,86 + RR$7.971,94 + RR$8.541,36 + [RR$137.333,33] / 1,404928

VP = RR$7.142,86 + RR$7.971,94 + RR$8.541,36 + RR$97.758,55

VP = RR$121.414,71

Solução da Questão 2

VP = RR$8.000 / 1,12 + RR$10.000 / 1,12² + RR$12.000 / 1,12³ + RR$(12.000 / 0,12) / 1,12³

VP = RR$7.142,86 + RR$7.971,94 + RR$8.541,36 + RR$(100.000) / 1,404928

VP = RR$7.142,86 + RR$7.971,94 + RR$8.541,36 + RR$71.178,57

VP = RR$94.834,73

Solução da Questão 3

G = Taxa de retenção × Taxa de aplicação
G = 0,40 × 0,15 = 0,06 = 6% a.a.

10. Fórmulas para Automação (Excel/Google Sheets)

Cálculo	Fórmula
Perpetuidade sem crescimento	=FC / i
Perpetuidade com crescimento	=FC1 / (i – G)
VP com perpetuidade iniciando em n	=VP_dos_fluxos_ate_n + (perpetuidade / (1+i)^n)
G a partir de retenção e ROI	=Taxa_Retencao * Taxa_Retorno_Reinvestimento

11. Comentários e Conclusões Finais

Os conceitos apresentados neste Estudo podem ser aplicados tanto para a valorização de empresas quanto para a análise de projetos de investimento.
Em projetos com vida útil indeterminada, utilizamos o conceito de perpetuidade. Projetos de concessão de serviços públicos (com prazo determinado) não utilizam perpetuidade.
No contexto de perpetuidade sem crescimento, os projetos não criam valor. A política de dividendos é irrelevante.
No contexto de perpetuidade com crescimento, os projetos são criadores de valor. Lucros retidos são reaplicados a taxas superiores à taxa de desconto.
Países emergentes como o Brasil, com estabilização econômica, podem apresentar projetos com elevado potencial de criação de valor. Recomenda-se projetar o fluxo de caixa pelo número de anos estimados até que a empresa entre no cenário da perpetuidade.
A taxa G deve ser moderada e consistente com as perspectivas de longo prazo da economia.

Próximo Estudo: No PE-016, aprofundaremos na avaliação de empresas pelo método do fluxo de caixa descontado, determinando qual fluxo deve ser descontado, qual a melhor taxa de desconto e como interpretar os valores obtidos